ベクトルの内積で垂直を判定｜成分計算とゼロベクトルの注意

二つのベクトルが垂直かどうかは、成分の見た目ではなく内積で確認できます。ただし、長さ0のベクトルでは角度を定められないため、条件にも注意が必要です。

数強塾オリジナル確認問題

a=(2,−3)、b=(k,4)が垂直になるkを求めてください。

解答と成分の対応

内積は同じ位置の成分を掛けて足し、a・b=2k+(−3)×4=2k−12です。二つはともにゼロベクトルではないので、垂直の条件は内積0。2k−12=0よりk=6です。

b=(6,4)を戻すと、2×6−3×4=0になります。a+bを求めたり、交差する成分を掛けたりしないよう、内積の計算を区別してください。

内積0が垂直を表す理由

ゼロでない二つのベクトルでは、内積はそれぞれの大きさと、なす角のcosの積です。大きさが0でないとき内積が0ならcosが0となり、なす角は90度です。

ゼロベクトルを含む場合

(0,0)との内積はどのベクトルでも0になります。しかしゼロベクトルには向きがないため、通常の意味でなす角を90度とは決められません。文字を含む成分で垂直を判定するときは、その値でゼロベクトルにならないかも確認しましょう。

今回の問題は数強塾オリジナルです。計算後は成分へ代入して内積0を確認し、条件の見落としがないかを点検してください。高校数学の個別指導もご案内しています。