平方根の計算でルートを足せない理由｜√8＋√18を例題で整理

2 日前

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√8＋√18を√26としてしまう間違いは、ルートの中を普通の足し算と同じように扱うことから起こります。平方根の足し算では、まずルートの外に出せる数を取り出し、同じルートが何個あるかを数えます。中学3年の復習から高校数学の計算の見直しまで使える確認問題です。

足せるのは、同じ種類を表す係数

3x＋2x=5xと計算できるのは、xが3個と2個あるからです。同じように、3√2＋2√2は√2が合計5個なので5√2です。√2そのものの値を小数に直す必要はありません。一方、√2＋√3では種類が異なるので、このようにはまとめられません。

√a＋√b=√(a+b)という足し算の規則はありません。a=b=1とすれば、左辺は2、右辺は√2となり一致しないことがすぐ分かります。公式らしい形を見ても、簡単な数で確かめる習慣が役立ちます。

次の式を簡単にしてください。（1）√8＋√18　（2）√50−√8　（3）√12＋√18。さらに、（1）の答えが√26ではないことを、平方して確認しましょう。

（1）√8=√(4×2)=2√2、√18=√(9×2)=3√2。したがって2√2＋3√2=5√2です。ルートの中の2を足して4にするのではなく、外側の2と3を足します。

（2）√50=5√2、√8=2√2なので、5√2−2√2=3√2です。引き算でも同じ種類の係数をまとめます。

（3）√12=2√3、√18=3√2。答えは2√3＋3√2です。どちらも簡単にしても中の数がそろわないため、これ以上一つの項にはまとめません。答えに足し算が残っていること自体は間違いではありません。

（1）の正しい答え5√2を平方すると50です。一方、√26を平方すると26。正の数同士で平方が異なるため、両者は等しくありません。

元の式を直接平方すると、(√8＋√18)²=8＋2√144＋18=50となります。真ん中の2abがあるため、8＋18だけにはなりません。ルートの足し算の誤りは、展開公式の真ん中の項を落とす誤りともつながっています。

ルートの中に4、9、16、25などの平方数が因数として含まれていないかを探します。例えば√72なら、72=36×2より6√2です。9×8として3√8まで変形しても間違いではありませんが、√8をさらに2√2にする必要があります。最後に中の数へ平方数の因数が残っていないか確認してください。

大きい数で見つけにくい場合は素因数分解し、同じ素因数のペアを一つずつ外に出せます。ただし、文字を含む√(x²)は常にxとは限らず|x|です。今回の正の整数の計算と、文字の符号を考える計算を区別しましょう。

間違い直しでは「ルートが苦手」とまとめず、平方数を見つけられなかったのか、同じルートの係数を足せなかったのかを分けます。今回の3問が解けたら、自分で同じ√2にそろう数を二つ作り、和を計算してみてください。

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