一次関数の式の求め方｜2点から傾きと切片を出すときの符号ミス対策

4 日前

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一次関数の式を2点から求めるとき、公式を覚えていても、引く順番がそろわないと傾きの符号が変わります。ここでは中学生が間違えやすい「変化量の向き」を中心に、式を求めた後の検算まで解説します。高校数学の直線の式を学び直すときにも使える内容です。

傾きは、同じ移動に対する変化量の比

一次関数を y=ax+b と表すと、aが傾き、bが切片です。傾きは「yの増加量÷xの増加量」で求めます。点Aから点Bへ進むと決めたなら、分子も分母もBの座標からAの座標を引きます。一方だけ逆にすると、実際と反対向きの傾きになります。

左から右へ進んだときにグラフが下がるなら傾きは負です。計算前に座標を大まかに配置しておくと、符号がおかしいことに気づけます。正確な作図より、増える・減るの関係を確認するための下書きです。

点A（−2, 7）、点B（4, −5）を通る一次関数の式を求めてください。さらに、x=1のときのyの値を求め、点A・点Bの両方が求めた式を満たすことを確かめましょう。

AからBへ進むと、xの増加量は 4−（−2）=6、yの増加量は −5−7=−12 です。したがって a=−12÷6=−2。ここで x が6増える間に y が12減るので、負の傾きになることも確認できます。

次に y=−2x+b にAの座標を代入します。7=−2×（−2）+b=4+b なので、b=3。求める式は y=−2x+3 です。x=1を代入すると y=1 になります。

検算ではAだけで終わらずBも使います。x=−2なら y=4+3=7、x=4なら y=−8+3=−5。両方の座標と一致するので、式が二つの条件を満たしています。切片はx=0のときのyなので、点（0, 3）もこの直線上にあります。

傾きを2として y=2x+11 とした場合、Aは式を満たしますが、Bでは y=19 となり一致しません。一つの点だけを使って切片を調整すると、傾きが間違っていてもその点では検算を通ってしまいます。2点目を代入する理由はここにあります。

また、4−（−2）を2にしてしまった場合は、引く順番ではなく負の数の引き算が原因です。間違い直しには「符号ミス」とだけ書かず、「負の数を引くとき、足し算に直せなかった」と記録すると、次の練習が決まります。

異なる2点のx座標が同じなら、xの増加量は0です。0で割ることはできず、その2点を通る縦の直線は y=ax+b の形では表せません。例えば（2, 1）と（2, 5）を通る直線は x=2 です。公式に数字を入れる前に、一次関数として表せる条件かを確認してください。

今回の確認ポイントは、分子と分母で引く向きをそろえること、切片を代入で決めること、使っていない点でも確かめることの三つです。同じ問題を解き直すときは、答えを思い出すだけでなく「なぜ傾きが負か」を説明してから計算すると理解を確認できます。

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