二次方程式の解と係数の関係｜解を求めず和と積を計算する

6 日前

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二次方程式の二つの解そのものが不要で、和や積だけを聞かれることがあります。そのときは解と係数の関係を使うと計算を減らせます。

独自例題：2x²−7x+3=0

【問題】二つの解をα、βとして、α+βとαβを求めなさい。【答え】和は7/2、積は3/2です。一般にax²+bx+c=0でa≠0なら、α+β=-b/a、αβ=c/aとなります。今回のbは-7なので、和は-(-7)/2です。

a(x−α)(x−β)を展開するとax²−a(α+β)x+aαβです。これをax²+bx+cと比べれば、-a(α+β)=b、aαβ=cと分かります。先頭の係数aが1でなければ、和も積もaで割る必要があります。

α²+β²=(α+β)²−2αβです。上の例では49/4−3=37/4となります。二乗の和を、和の二乗だけで済ませないことがポイントです。実際の解3と1/2を代入しても9+1/4=37/4になります。

【問題】x²+4x−1=0の二つの解の和・積・二乗の和を求めなさい。【答え】和-4、積-1、二乗の和16−2×(-1)=18です。積が負のときの引き算に注意します。

解を求める問題なのか、解から作った値を求める問題なのかを先に確認すると、使う手段を選びやすくなります。例題は学習用オリジナルです。