二次関数の最大値・最小値｜定義域に頂点が入るかを確認する

2 時間前

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二次関数では、xの両端を代入するだけでは最大・最小が決まらないことがあります。グラフが区間の途中で折り返すためです。頂点が定義域に含まれるかを最初に確認します。

独自例題：頂点を含む区間

【問題】y=(x−2)²+1について、0≦x≦5のときの最大値と最小値を求めなさい。【解答】頂点は(2,1)で、x=2は区間内です。上に開く放物線なので最小値は1。端点ではx=0でy=5、x=5でy=10となり、最大値は10です。

同じ式でも3≦x≦5なら、頂点のx=2は使えません。この区間ではxが増えるとyも増えるため、最小値はx=3で2、最大値はx=5で10です。式の頂点のy座標が、そのまま指定区間の最小値になるとは限りません。

両端の値と、区間内にある場合の頂点の値を比較します。グラフの形を小さく描くと候補を落としにくくなります。下に開く放物線の場合は、頂点が最大となるため、最大・最小という名称を逆にしないでください。

【問題】y=−(x+1)²+4、-3≦x≦2の最大・最小を求めなさい。【答え】頂点(-1,4)を含むので最大値4。x=-3では0、x=2では-5なので最小値-5です。

答案では値だけでなく「xがいくつのとき」も併記すると、頂点と端点を区別できます。例題は当サイトの学習用オリジナルです。