二次関数の平方完成｜頂点の符号を読み違えない方法

平方完成は公式に数字を当てはめるだけでなく、同じ式を頂点が分かる形に書き換える操作です。括弧の中の符号をそのまま頂点のx座標にしないことが大切です。

数強塾オリジナル確認問題

y=2x²−8x+5を平方完成し、頂点と最小値を求めてください。xは全ての実数を動くものとします。

解答と補った数の扱い

まず2でくくり、y=2(x²−4x)+5。x²−4x=(x−2)²−4なので、y=2{(x−2)²−4}+5=2(x−2)²−3です。補った4を引くとき、外の2も掛かるため、最後は−8+5=−3になります。

(x−2)²が0になるのはx=2です。頂点は(2,−3)、最小値は−3です。括弧内がx−2だからといって、頂点のx座標を−2にしないようにします。

展開と代入で確認する

2(x−2)²−3を展開すると2x²−8x+8−3で、元の式と一致します。さらにx=2を元の式へ代入すると8−16+5=−3。式の変形と頂点の読み取りを別々に検算できます。

定義域がある問題では追加の確認が必要

もし0≦x≦1なら、頂点のx=2は範囲外です。この範囲ではxが2へ近づくほど(x−2)²が小さくなるので、x=1で最小値−1になります。「平方完成した最後の定数が必ず最小値」と覚えず、平方の部分を0にできるxが範囲内かを確認してください。

復習では、計算の誤りなのか、頂点の読み違いなのか、定義域の見落としなのかを分けます。本問は数強塾オリジナル教材です。数強塾の新公式HPで高校数学の個別指導をご案内しています。