対数の真数条件はいつ使う？｜方程式を解いた後の除外

9月29日

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対数方程式を二次方程式へ変形すると、元の対数が定義されない値が候補に出ることがあります。計算結果を全て答えにせず、最初に真数条件を書き、最後に照合しましょう。

数強塾オリジナル確認問題

log₂(x−1)+log₂(x+1)=3 を実数の範囲で解いてください。

x−1>0、x+1>0が必要なので、まとめるとx>1です。この条件の下で対数の和をまとめるとlog₂{(x−1)(x+1)}=3。したがってx²−1=2³=8、x²=9となります。

候補はx=3とx=−3ですが、x>1を満たすのは3だけです。答えはx=3。元の式に戻すとlog₂2+log₂4=1+2=3で確認できます。

x=−3では(x−1)(x+1)=8は正です。しかし元の式の真数は−4と−2で、実数の対数として定義されません。まとめた後の積だけを見て条件を判定すると、元の二つの対数が持つ制限を落としてしまいます。

実数の対数では底は正で1以外、真数は正です。今回は底が2なので底の条件は満たしています。底が文字の場合は、その条件も必要です。またlog₂(A+B)をlog₂A+log₂Bに分ける規則はありません。和と積を取り違えないようにします。

間違い直しでは、条件を書かなかったのか、候補を条件と照合しなかったのかを区別してください。本問は数強塾オリジナルです。数強塾の新公式HPで高校数学の指導案内を確認できます。