不等式の符号が逆になる理由｜負の数で割るときの確認問題

1 日前

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不等式を方程式と同じ感覚で変形すると、最後の答えが反対になることがあります。特に負の数で割る場面では、等号の計算にはない確認が必要です。不等号を反転する規則を、大小関係と具体的な数で理解しましょう。

正負を反転すると数の並びも逆になる

2<5の両辺に−1を掛けると、−2と−5になります。数直線では−2の方が右側にあるので、−2>−5です。負の数を掛ける操作は、符号を反転することと正の倍率を掛けることに分けて考えられます。符号の反転によって大小の向きが逆になるため、不等号も逆にします。

一方、両辺に同じ数を足す操作では順序は変わりません。負の数を足しただけで不等号を反転するのは誤りです。「負の数が出たら」ではなく「両辺に負の数を掛けた・両辺を負の数で割った」ときに判断します。

不等式 5−3x≦14 を解き、x=−4とx=0がそれぞれ解に含まれるか、元の式で確かめてください。

両辺から5を引くと−3x≦9。この段階では同じ数を引いただけなので不等号は変わりません。次に両辺を−3で割り、不等号を反転して x≧−3 が答えです。

x=−4を代入すると左辺は17で、17≦14は成り立ちません。x=0なら5≦14となり成り立ちます。境界のx=−3では左辺が14になり、等号を含むので解です。数直線に表すなら−3の点を含め、その右側を選びます。

誤ってx≦−3と書いたとしても、境界の−3は元の式を満たします。境界の確認だけでは解の範囲が右か左かは分かりません。境界の両側から一つずつ値を選ぶと、向きの誤りを発見できます。

また、不等式を解いた後、答えをx=−3としてしまうと範囲を一つの値へ狭めています。方程式の解と不等式の解の違いを、最後の不等号まで含めて確認してください。

両辺をaで割りたい場合、a>0なら不等号はそのまま、a<0なら反転します。a=0なら割れません。符号が指定されていない文字を使う問題では、場合分けが必要になります。数の問題で規則を覚えた後に、どの条件でその規則が使えるかも意識しましょう。

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