因数分解のたすき掛け｜係数の組合せを整理する練習

9月20日

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x²の係数が1でない式では、積と和だけで因数分解を決めにくくなります。たすき掛けは、二つの一次式を掛けたときの真ん中の項を確認する整理法です。線の形を覚える前に、展開でどの積が足されるかを確かめましょう。

真ん中の係数は二つの積の和

(ax+b)(cx+d)を展開すると、acx²+(ad+bc)x+bdです。x²の係数はac、定数項はbd、真ん中の係数はad+bcになります。たすき掛けで斜めに掛けるのは、このadとbcを作るためです。

候補を選んだら、定数項の積だけでなく、斜めの積の和も確認します。両方の条件を満たして初めて元の式に戻せます。

（1）2x²+7x+3　（2）2x²−5x−3 を因数分解してください。答えを展開し、三つの係数をそれぞれ確認しましょう。

（1）x²の係数2は2×1、定数項3は1×3です。(2x+1)(x+3)なら真ん中は6x+x=7x。したがって答えは(2x+1)(x+3)です。(2x+3)(x+1)では2x+3x=5xになり合いません。

（2）定数項が−3なので、一方の定数を負にします。(2x+1)(x−3)なら−6x+x=−5x、定数項は−3。よってこれが答えです。展開すると2x²−6x+x−3=2x²−5x−3となります。

試す組合せを紙に並べ、真ん中の係数だけを横に記録すると、同じ配置を繰り返すことを避けられます。符号だけを頭の中で動かすと候補が混ざるため、二つの括弧の形で一度書き出しましょう。

式全体に共通因数がある場合は先にくくります。例えば4x²+14x+6なら、2(2x²+7x+3)にしてから（1）を使えます。最後の答えで外の2を落とさないことも確認点です。

全ての二次式が整数係数の一次式の積にできるとは限りません。問題がどの範囲で因数分解を求めているかを確認し、二次方程式を解く目的なら平方完成や解の公式も検討します。たすき掛けで見つからないことだけを計算力不足と決めつけないでください。

本問は数強塾オリジナルです。係数を変える前に、今回の二つの答えを見ずに展開できるか確認しましょう。数強塾の新公式HPでは数学の復習・受験対策をご案内しています。