等比数列の一般項｜初項から公比を何回掛けるか数える

1 日前

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等比数列では、前の項に同じ数を掛けて次の項を作ります。この掛ける数が公比です。一般項を書くときには、初項から何回掛けたかが指数になります。

独自例題：5、10、20、40、…

【問題】第n項と第8項を求めなさい。【解答】初項5、公比2なのでaₙ=5×2^(n−1)。第8項は5×2⁷=640です。第1項では2をまだ一度も掛けていないため、指数は0になります。

5×2^nと書いてしまったら、n=1で10となり初項5に戻りません。一般項を作った後は、n=1と2を代入して、元の数列の最初の二つと一致するかを確かめてください。

3、-6、12、-24、…の公比は-2で、aₙ=3×(-2)^(n−1)です。括弧を省いて-2^(n−1)とすると、負号の意味が変わるため、負の公比には括弧を付けます。

【問題】初項16、公比1/2の等比数列の第6項を求めなさい。【答え】16×(1/2)⁵=1/2です。公比が0と1の間なら、正の初項からの項は小さくなります。

等差数列の「足す回数」と等比数列の「掛ける回数」を分けて説明できることが、この練習の確認ポイントです。問題は学習用オリジナルです。