因数定理の使い方｜x−aで割り切れるかを代入で調べる

5 日前

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多項式にx−aという因数があるかは、x=aを代入した値から調べられます。P(a)=0なら、P(x)はx−aで割り切れます。

独自例題：三次式の因数を探す

【問題】P(x)=x³−2x²−5x+6がx−1を因数にもつか調べ、因数分解しなさい。【解答】P(1)=1−2−5+6=0なので、x−1を因数にもちます。割るとx²−x−6となるので、P(x)=(x−1)(x−3)(x+2)です。

x+2で割り切れるか調べるなら、x=-2を代入します。x+2=x−(-2)と考えるためです。上の式でもP(-2)=-8−8+10+6=0となります。

x−aで割ったときの余りはP(a)です。P(a)が0なら割り切れ、0でなければその数が余りになります。因数が見つかった後は、残りの式を展開して元に戻るかも確認しましょう。

【問題】Q(x)=x³+2x²−x−2をx+1で割った余りを求めなさい。【答え】Q(-1)=-1+2+1−2=0です。したがってx+1を因数にもちます。実際にQ(x)=(x+2)(x−1)(x+1)と分解できます。

候補の数を代入するときは、三乗・二乗の負号を分けて計算します。単に答えの因数を覚えるのではなく、なぜその数を入れるのかを説明できることが確認ポイントです。問題は学習用オリジナルです。