定積分と面積の違い｜グラフがx軸の下にある区間の扱い

定積分の値が0でも、図形の面積が0とは限りません。x軸より上と下の部分が相殺することがあるからです。面積を求めるときは、関数の符号を先に確認しましょう。

数強塾オリジナル確認問題

y=x−1とx軸、直線x=0、x=2で囲まれる部分の面積の合計を求め、0から2までの定積分と比べてください。

解答：交点で区間を分ける

x−1=0よりx軸との交点はx=1です。0≦x≦1ではグラフが下、1≦x≦2では上にあります。それぞれ底辺1、高さ1の三角形なので、面積は1/2+1/2=1です。

積分では、下側の面積は−∫₀¹(x−1)dx=1/2、上側は∫₁²(x−1)dx=1/2。符号を調整して足します。

定積分をそのまま計算すると

∫₀²(x−1)dx=[x²/2−x]₀²=0です。下側の−1/2と上側の1/2が相殺しています。最後の答えが面積なら、負の部分をそのまま足してよいかを確認してください。

積分した後に絶対値を付けるだけでは足りない

今回の定積分0に絶対値を付けても0のままです。符号が変わるところで区間を分け、各部分の面積を正として合計する必要があります。まず交点を求め、簡単な図や符号表を描く順序を固定しましょう。

問題は数強塾オリジナル教材です。数強塾の新公式HPで高校数学の指導内容をご案内しています。