円柱と円錐の体積の違い｜同じ底面積・高さで3分の1になる
円錐の体積で間違えやすいのは、最後の3分の1を忘れることと、斜めの母線を高さに使うことです。まず底面に垂直な高さを見つけてから計算します。
独自例題：半径3cm、高さ8cm
【問題】底面の半径3cm、高さ8cmの円柱と円錐の体積をそれぞれ求めなさい。【解答】底面積は9πcm²。円柱は9π×8=72πcm³、円錐は9π×8÷3=24πcm³です。3分の1という比較は底面積と高さが同じ場合に使えます。
図の斜めの長さは高さとは限らない
円錐の頂点から底面の円周へ伸びる線は母線です。底面の中心へ垂直に下ろした線が高さになります。例えば半径3cm、母線5cmの直円錐なら、高さは三平方の定理から√(25−9)=4cm。体積はπ×3²×4÷3=12πcm³です。5をそのまま高さとして使うと誤答になります。
確認問題：高さを逆算する
【問題】底面の半径が2cm、体積が20πcm³の円錐の高さを求めなさい。【解答】高さをhとすると4πh/3=20π。両辺を3倍して4πh=60πよりh=15cmです。体積から高さへ戻すときには3倍が必要になります。
単位と条件の点検
体積はcm³、高さはcmです。半径を2倍にすると底面積は4倍になりますが、高さを2倍にすると体積は2倍です。どの長さを変えたのかを混同しないよう、式のr²とhを別々に見ます。独自例題を解き直す際は、図に「半径」「垂直な高さ」を書き込んでから式を立ててください。
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