【小学生向け】探偵みたいで面白い！数学の「背理法」ってなんだ？

登場人物

• はかせ： 物知りな算数・数学好きのおじいさん。

• ケンタ： 好奇心旺盛な小学5年生。

はかせ： やあ、ケンタくん。今日はなんだか難しい顔をしておるな。何か悩み事かな？

ケンタ： はかせ、こんにちは！算数の問題で「証明しなさい」っていうのが出てきて…。なんだかよくわからないんだ。特に「背理法」っていうのがチンプンカンプンで。

はかせ： ほう、「背理法（はいりほう）」か！それは面白い考え方じゃよ。探偵が犯人を見つけるみたいで、ワクワクするかもしれんぞ。

ケンタ： た、探偵！？どういうこと？

はかせ： うむ。背理法は、「もし〇〇じゃなかったら、どうなるかな？」と考えてみて、「あれ？それだとおかしいぞ！」ということを見つける方法なんじゃ。

ケンタ： うーん、まだピンとこないなあ。

はかせ： よし、じゃあ簡単な例で考えてみよう。ここに、中身が見えない袋が一つある。そして、わしは「この袋の中には、赤い玉が1個だけ入っている」と主張するとしよう。

ケンタ： ふむふむ。

はかせ： さて、ケンタくんが「本当に1個だけかな？もしかしたら2個入ってるかも？あるいは、1個も入ってないかも？」と疑ったとする。これが背理法のスタートじゃ。「主張と反対のこと」を仮に考えてみるんじゃな。

ケンタ： なるほど。「1個だけじゃない」って仮に考えてみるんだね。

はかせ： そうじゃ。じゃあ、まず「もし赤い玉が1個も入っていなかったら？」と考えてみよう。

もしそうだとしたら、袋から玉を取り出しても、絶対に赤い玉は出てこないはずじゃな？

ケンタ： うん、そうだね。

はかせ： でも、実際に袋から玉を1個取り出してみたら、赤い玉が出てきた！ さあ、どうかな？

ケンタ： あれ？ 「赤い玉は1個も入っていない」と考えたのに、赤い玉が出てきちゃった…。それって、おかしい！矛盾してる！

はかせ： その通り！「赤い玉が1個も入っていない」と仮定したら、おかしなこと（矛盾）が起きてしまった。ということは、最初の仮定「赤い玉は1個も入っていない」は間違いだった、ということになる。

ケンタ： そっか！じゃあ、赤い玉は少なくとも1個は入ってるってことだね！

はかせ： うむ。では次に、「もし赤い玉が2個以上入っていたら？」と考えてみようか。

もし2個以上入っているなら、例えば「袋の中の玉は全部で1個だよ」という別の情報があったとしたらどうかな？

ケンタ： え？赤い玉が2個以上あるのに、袋の中の玉が全部で1個しかないのは、絶対におかしいよ！

はかせ： そうじゃな！これも矛盾じゃ。「赤い玉が2個以上ある」と仮定したら、別の情報と食い違ってしまった。ということは、「赤い玉が2個以上ある」という仮定も間違いだった、ということになる。

ケンタ： なるほど！

はかせ： さて、ケンタくん。「赤い玉は1個も入っていない」も間違い。「赤い玉は2個以上ある」も間違い。となると、どうなるかな？

ケンタ： えっと…「1個じゃない」っていう可能性が全部なくなったってことだから…？ あっ！じゃあ、やっぱり「赤い玉は1個だけ入っている」が正しいんだ！

はかせ： 大正解！これが背理法じゃ。

ケンタ： すごい！探偵が「こいつが犯人じゃないとしたら、アリバイがないぞ…おかしい！」って考えるのと似てるかも！

はかせ： まさにその通りじゃ！背理法のポイントをまとめるとこうじゃ。

1. 証明したいことと「反対のこと」を仮に正しいと考える。

   
   

   （例：「赤い玉は1個だけ」の反対 → 「1個じゃない（0個か、2個以上）」）

2. その仮定から話を進めていくと、どこかでおかしな点（矛盾）が出てくることを見つける。

   
   

   （例：「0個なら赤い玉は出ないはずなのに出た！」「2個以上なら、全部で1個という情報と合わない！」）

3. 「おかしな点が出てきたのは、最初の仮定が間違っていたからだ！」と結論づける。

4. だから、最初に証明したかったこと（反対の反対）が正しいと言える！

   
   

   （例：「1個じゃない」が間違いだから、やっぱり「1個だけ」が正しい！）

ケンタ： なるほどー！直接証明するのが難しいときでも、反対のことを考えてみて「それだとおかしい！」って言えれば、元のことが正しいって言えるんだね！

はかせ： そういうことじゃ。最初は少し難しく感じるかもしれんが、パズルを解くような面白さがあるじゃろ？

ケンタ： うん！なんだかスッキリしたよ！ありがとう、はかせ！

はかせ： どういたしまして。算数や数学には、こういう面白い考え方がたくさんあるんじゃ。またいつでも聞きにおいで。