微分で増減を調べる｜導関数の符号と元の関数の上下を区別する

3 時間前

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関数が増加するか減少するかは、元の関数の値が正か負かではなく、導関数の符号から調べます。グラフの高さと傾きを区別しましょう。

独自例題：f(x)=x²−4x+1

【解答】f′(x)=2x−4なので、x<2で負、x>2で正です。したがってx<2で減少し、x>2で増加します。x=2ではf′(2)=0となります。

x=2.5ではf(x)=-2.75ですが、f′(x)=1なので増加しています。x軸より下にあることは減少を意味しません。右へ進んだとき上がるか下がるかを考えます。

導関数が0になる値や定義されない点で区間を分け、各区間の符号を調べます。符号が変わるかを確認せず、0になった点をすべて極値とするのは避けましょう。

【問題】g(x)=x³の増減を調べなさい。【答え】g′(x)=3x²で、x≠0では正。x=0で0ですが前後で負にはならず、全体として増加します。0で極大・極小になるわけではありません。

この練習では「高さ」「傾き」「増減」の三つを分けて説明できることを確認します。問題は学習用オリジナルです。